ARRANJO OU COMBINAÇÃO?

Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
• Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• Um entre os tamanhos: pequeno e grande;
• De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
 
Este é um problema de Combinação, pois podemos ver que cada elemento é de natureza diferente, então, cada organização feita deste sanduíche resultará em um tipo de sanduíche.
Aqui temos três Combinações diferentes, uma referente ao tipo de pão, outra ao tamanho e outra ao recheio. Quando fazemos a combinação do recheio devemos nos atentar, pois existem 5 modos diferentes do cliente rechear seu sanduíche.

Caso 1 – Um item no recheio.



B)
Neste caso o cliente tem algumas preferências, logo restringirá algumas de nossas opções para combinação.




Ele escolherá apenas dois recheios, com isso teremos a seguinte combinação:
 



     
Este cliente terá 20 opções de sanduíche à sua escolha.

PROBABILIDADE...

1) Numa festa há 21 loiras, 18 morenas e 11 ruivas. Ao selecionarmos uma garota, ao acaso, qual a probabilidade dela ser:

 a) Morena                                                                  b) Ruiva.

Solução. Determinando o número de elementos do espaço amostral, temos: 21 + 18 + 11 = 50 pessoas.

a) Se há 18 morenas, a probabilidade de uma delas ser selecionada será: Temos 18/50  = 9/25

b) Se há 11 ruivas, a probabilidade de uma delas ser selecionada será: Temos 11/50

ARRANJOS OU COMBINAÇÕES? Definições...

Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:

An,p = n(n – 1)(n – 2) * ...*(n – p + 1) ou

Exemplos:
A8,4 (onde n = 8 e p = 4)



Combinações Simples

Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.
Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p

e calcula-se por C n,p =

(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)

Exemplos:
C6,2 (onde n = 6 e p = 2)

ARRANJOS OU COMBINAÇÕES?

VEJAM ESTES EXERCÍCIOS...

1 - O setor de nutrição de determinada cantina sugere, para uma refeição rica em carboidratos, 4 tipos de macarrão, 3 tipos de molho e 5 tipos de queijo. O total de opções para quem vai servir um tipo de macarrão, um tipo de molho e três tipos de queijo é

a) 2.5!     b) 5!     c) (5!)²    d) 5! / 2     e) 2 / 5!

Resolução:

C₁⁴  .  C₁³  .  C₃⁵

= 4  .  3  .  5.4.3

                    3!

= 12 . 60

           3!

= 12. 60

         3.2.1

= 12 . 10

= 120

= 5!

Gabarito Letra: B

2 -   Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

Resolução:

 

O total de comissões formadas por cinco pessoas será:

C₅⁹   

= 9.8.7.6.5

   5.4.3.2.1

9.7.2

= 126

Porém, devemos ter no mínimo um menino e uma menina em cada comissão, dessa forma não podemos ter uma comissão só de meninas e nem uma comissão só de meninos. Como temos apenas 4 meninas, não há a possibilidade de formar uma comissão com 5 pessoas só de meninas, já com 5 garotos, há uma única combinação que forma a comissão só de garotos, portanto, devemos descontar essa combinação do total:

126 - 1 = 125

Resposta: 125 comissões podem ser formadas

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA.

 PGs infinitas.

Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.

Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.

Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.

Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.

Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente: .

Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.

Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:

  

Exercícios resolvidos

 Comprei um terreno e vou pagá-lo em 8 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100 unidades monetárias - e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. Qual o valor do terreno?

Como sabemos o total de prestações (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestações estão em PG de razão 2.
<>


Logo, o valor do terreno é de 25500 unidades monetárias.

2) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0, 8888...

Podemos escrever a dízima da seguinte forma:

0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual à soma da PG infinita
<>

.
A fração geratriz é, então, o valor da soma dessa PG.
<>


3) Resolver a equação .

Mais uma vez, aplicaremos a fórmula da soma da PG infinita, pois o 1º membro da equação é  uma PG infinita e decrescente.

temos:

<>

FUNÇÕES...

Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine: a) O Domínio:b) A imagem c) f(5) d) f(12) Resolução: a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, esta é barbada D={5, 12, 23}. b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há relacionamento com o Domínio, então: Im={7, 14, 25} c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5. f(5)=7 d) Como no exercício anterior: f(12)=14.

FUNÇÕES...

 Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:

Resolução:

Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào:
- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,
então f(-3)=19
- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9
- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1
- f()=2.()²+1, então f()=11

Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}