COLÉGIO ESTADUAL EMBAIXADOR RAUL FERNANDES - TURMA 3ª SÉRIE.

DEMONSTRAÇÃO DA RELAÇÃO DE GIRARD PARA FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Relações de Girard

Soma e produto de raízes de uma equação

Prof. Marcilio Dias (matemática Estado do RJ)

Você sabia que a partir das "raízes" (resultados) das equações de segundo grau é possível "montar" a equação? Se você tiver apenas as raízes (x₁ e x₂), você consegue encontrar qual equação poderia ter esses resultados, graças às relações que as raízes guardam com os coeficientes da equação de 2º grau.

Soma das raízes

A primeira relação importante de se destacar é esta:




Em que x₁ e x₂ são as duas raízes da equação, b e a são os coeficientes dela, segundo a fórmula de Bhaskara:

Veja sua comprovação. Comece relembrando a fórmula de Bhaskara:




Logo as raízes são:




e




Para simplificar daqui para diante vamos adotar a seguinte notação:




Logo:




Veja as raízes somadas:




Como denominador é o mesmo fica:

Produto das raízes

Veja como essa relação se comprova:




Lembra-se dos produtos notáveis?

A multiplicação de uma soma por uma diferença resulta no quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo, então:




Como




então




Simplificando o 4 e o a:

Essas relações foram definidas pelo matemático Albert Girard (1590-1639).

Recuperando uma equação a partir das raízes

Dadas uma equação de segundo grau de raízes 4 e 9, qual seria uma equação possível? Relembre que a fórmula geral de uma equação de segundo grau é ax² + bx + c = 0.

De:




com




e




Logo, tem-se a equação:

ARRANJO OU COMBINAÇÃO?

Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
• Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• Um entre os tamanhos: pequeno e grande;
• De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
 
Este é um problema de Combinação, pois podemos ver que cada elemento é de natureza diferente, então, cada organização feita deste sanduíche resultará em um tipo de sanduíche.
Aqui temos três Combinações diferentes, uma referente ao tipo de pão, outra ao tamanho e outra ao recheio. Quando fazemos a combinação do recheio devemos nos atentar, pois existem 5 modos diferentes do cliente rechear seu sanduíche.

Caso 1 – Um item no recheio.



B)
Neste caso o cliente tem algumas preferências, logo restringirá algumas de nossas opções para combinação.




Ele escolherá apenas dois recheios, com isso teremos a seguinte combinação:
 



     
Este cliente terá 20 opções de sanduíche à sua escolha.

PROBABILIDADE...

1) Numa festa há 21 loiras, 18 morenas e 11 ruivas. Ao selecionarmos uma garota, ao acaso, qual a probabilidade dela ser:

 a) Morena                                                                  b) Ruiva.

Solução. Determinando o número de elementos do espaço amostral, temos: 21 + 18 + 11 = 50 pessoas.

a) Se há 18 morenas, a probabilidade de uma delas ser selecionada será: Temos 18/50  = 9/25

b) Se há 11 ruivas, a probabilidade de uma delas ser selecionada será: Temos 11/50

ARRANJOS OU COMBINAÇÕES? Definições...

Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:

An,p = n(n – 1)(n – 2) * ...*(n – p + 1) ou

Exemplos:
A8,4 (onde n = 8 e p = 4)



Combinações Simples

Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.
Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p

e calcula-se por C n,p =

(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)

Exemplos:
C6,2 (onde n = 6 e p = 2)

ARRANJOS OU COMBINAÇÕES?

VEJAM ESTES EXERCÍCIOS...

1 - O setor de nutrição de determinada cantina sugere, para uma refeição rica em carboidratos, 4 tipos de macarrão, 3 tipos de molho e 5 tipos de queijo. O total de opções para quem vai servir um tipo de macarrão, um tipo de molho e três tipos de queijo é

a) 2.5!     b) 5!     c) (5!)²    d) 5! / 2     e) 2 / 5!

Resolução:

C₁⁴  .  C₁³  .  C₃⁵

= 4  .  3  .  5.4.3

                    3!

= 12 . 60

           3!

= 12. 60

         3.2.1

= 12 . 10

= 120

= 5!

Gabarito Letra: B

2 -   Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

Resolução:

 

O total de comissões formadas por cinco pessoas será:

C₅⁹   

= 9.8.7.6.5

   5.4.3.2.1

9.7.2

= 126

Porém, devemos ter no mínimo um menino e uma menina em cada comissão, dessa forma não podemos ter uma comissão só de meninas e nem uma comissão só de meninos. Como temos apenas 4 meninas, não há a possibilidade de formar uma comissão com 5 pessoas só de meninas, já com 5 garotos, há uma única combinação que forma a comissão só de garotos, portanto, devemos descontar essa combinação do total:

126 - 1 = 125

Resposta: 125 comissões podem ser formadas

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA.

 PGs infinitas.

Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.

Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.

Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.

Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.

Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente: .

Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.

Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:

  

Exercícios resolvidos

 Comprei um terreno e vou pagá-lo em 8 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100 unidades monetárias - e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. Qual o valor do terreno?

Como sabemos o total de prestações (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestações estão em PG de razão 2.
<>


Logo, o valor do terreno é de 25500 unidades monetárias.

2) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0, 8888...

Podemos escrever a dízima da seguinte forma:

0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual à soma da PG infinita
<>

.
A fração geratriz é, então, o valor da soma dessa PG.
<>


3) Resolver a equação .

Mais uma vez, aplicaremos a fórmula da soma da PG infinita, pois o 1º membro da equação é  uma PG infinita e decrescente.

temos:

<>