ARRANJOS OU COMBINAÇÕES? Definições...

Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:

An,p = n(n – 1)(n – 2) * ...*(n – p + 1) ou

Exemplos:
A8,4 (onde n = 8 e p = 4)



Combinações Simples

Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.
Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p

e calcula-se por C n,p =

(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)

Exemplos:
C6,2 (onde n = 6 e p = 2)

ARRANJOS OU COMBINAÇÕES?

VEJAM ESTES EXERCÍCIOS...

1 - O setor de nutrição de determinada cantina sugere, para uma refeição rica em carboidratos, 4 tipos de macarrão, 3 tipos de molho e 5 tipos de queijo. O total de opções para quem vai servir um tipo de macarrão, um tipo de molho e três tipos de queijo é

a) 2.5!     b) 5!     c) (5!)²    d) 5! / 2     e) 2 / 5!

Resolução:

C₁⁴  .  C₁³  .  C₃⁵

= 4  .  3  .  5.4.3

                    3!

= 12 . 60

           3!

= 12. 60

         3.2.1

= 12 . 10

= 120

= 5!

Gabarito Letra: B

2 -   Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

Resolução:

 

O total de comissões formadas por cinco pessoas será:

C₅⁹   

= 9.8.7.6.5

   5.4.3.2.1

9.7.2

= 126

Porém, devemos ter no mínimo um menino e uma menina em cada comissão, dessa forma não podemos ter uma comissão só de meninas e nem uma comissão só de meninos. Como temos apenas 4 meninas, não há a possibilidade de formar uma comissão com 5 pessoas só de meninas, já com 5 garotos, há uma única combinação que forma a comissão só de garotos, portanto, devemos descontar essa combinação do total:

126 - 1 = 125

Resposta: 125 comissões podem ser formadas

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA.

 PGs infinitas.

Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.

Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.

Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.

Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.

Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente: .

Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.

Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:

  

Exercícios resolvidos

 Comprei um terreno e vou pagá-lo em 8 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100 unidades monetárias - e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. Qual o valor do terreno?

Como sabemos o total de prestações (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestações estão em PG de razão 2.
<>


Logo, o valor do terreno é de 25500 unidades monetárias.

2) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0, 8888...

Podemos escrever a dízima da seguinte forma:

0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual à soma da PG infinita
<>

.
A fração geratriz é, então, o valor da soma dessa PG.
<>


3) Resolver a equação .

Mais uma vez, aplicaremos a fórmula da soma da PG infinita, pois o 1º membro da equação é  uma PG infinita e decrescente.

temos:

<>