FUNÇÕES...

Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine: a) O Domínio:b) A imagem c) f(5) d) f(12) Resolução: a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, esta é barbada D={5, 12, 23}. b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há relacionamento com o Domínio, então: Im={7, 14, 25} c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5. f(5)=7 d) Como no exercício anterior: f(12)=14.

FUNÇÕES...

 Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:

Resolução:

Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào:
- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,
então f(-3)=19
- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9
- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1
- f()=2.()²+1, então f()=11

Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}

EXERCÍCIO SOBRE CONJUNTOS...

 Se a e b são números pertencentes a e , a quais conjuntos numéricos fundamentais podemos afirmar com certeza que x pertence, quaisquer que sejam os valores de a e b? 

A partir do enunciado, podemos chamar de A o conjunto ao qual x pertence e representá-lo por
Sabemos que, dentre outras formas, podemos representar o conjunto dos números racionais por
Como podemos observar, A é um subconjunto de , isto é,
Sabemos também que
Assim sendo:

Podemos afirmar com certeza que e .

EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA...P/REVISÃO!

 Exercícios resolvidos de combinações simples

  1. Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo.

Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática (m_i): 

Mas aqui consideramos distintos os agrupamentos do tipo (m₃,m₇,m₆,m₉) e (m₇,m₃,m₆,m₉)

A quantidade de agrupamentos formados por esses professores, mudando-se apenas a ordem, é dada por P₄ = 4!=24.

Logo, o número de combinações simples será o quociente 3024:24=126.

2. Ainda usando o exemplo anterior. Dos 9 professores de matemática dentre os quais 4 irão a um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.

3. Resolver a equação C_{x, 2} = 3.

Logo V = {3}

4. Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?

Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem não faz diferença, temos:

escolhas do levantador.

escolhas dos 5 atacantes.

Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.

5. Durante o jogo, 2 atacantes e o levantador foram substituídos. De quantas formas isso poderia ser feito?

Dos jogadores que não estavam na quadra, 1 era levantador e 5 eram atacantes. Assim, só há uma forma de substituir o levantador e C_{5, 2} formas de substituir os dois atacantes. Logo, as substituições poderiam ter sido feitas de:

formas diferentes.

6. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?

comissões.

7. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?

modos.

8. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

  saladas

9. De quantas maneiras podemos escolher 2 estudantes numa classe com 30 alunos?

A questão é a mesma que perguntar quantos subconjuntos de dois elementos possui um conjunto com 30 elementos. A resposta é:

10. Num grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher

4 membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota dentre os escolhidos?

Se dentre os 4 membros escolhidos há uma garota, essa escolha pode ser feita de C_{7, 2} . C_{2, 1} maneiras distintas. Se dentre os 4 membros escolhidos há duas garotas, essa escolha pode ser feita de C_{7, 2} . C_{2, 2} maneiras distintas. Portanto, o número pedido é

Ou seja. C_{7, 2} . C_{2, 1} + C_{7, 2} . C_{2, 2} = 91

11. De quantas maneiras podemos dividir 10 rapazes em dois grupos de cinco?

O primeiro grupo pode ser escolhido de C_{10, 5} modos. Escolhido o primeiro grupo, sobram 5 pessoas e só há uma maneira de formar o segundo grupo. A resposta parece ser C_{10, 5} . 1

Entretanto, contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo, a divisão dos rapazes nos dois grupos {a, b, c, d, e} e {f, g, h, i, j} é idêntica a divisão nos grupos: {f, g, h, i, j} e {a, b, c,d, e}, e foi contada como se fossem distintas. Portanto, a resposta é:

Apostila com exercícios e resolução completa . Para conferir os resultados, use o super software MathSys. Em análise combinatória você tem as seguintes conteúdos disponíveis:

Permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples, exercícios com desenvolvimentos, além de dicas de softwares para auxiliar no desenvolvimento dos seus exercícios.

Para baixar este conteúdo no formato PDF.  

Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

Se você quer cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Fique a vontade. Mande um e-mail para marciliomatematica@gmail.com , ou comente aqui mesmo. Por enquanto ficamos por aqui! Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

Observação:

- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.

- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa,ou arquivo .

NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA...

Imaginem que, no bimestre, João fez cinco atividades que valiam nota nas aulas de matemática. Ele começou bem, mas terminou o bimestre mal. Tirou as seguintes notas: 9, 7, 5, 3, 2.

Qual será a sua média no fim do bimestre?

Para facilitar os cálculos, vamos adotar o seguinte padrão: S é a soma das notas, e n é o número de notas que ele teve.

A média (M) será:



Note que a sua média não é igual a nenhuma das notas que ele tirou. É um número que mostra, mais ou menos, como João foi no bimestre.

Medidas de dispersão

Muitas vezes, a média não é suficiente para avaliar um conjunto de dados. Por exemplo, quando se fala em um grupo de mulheres com idade média de 18 anos. Esse dado, sozinho, não significa muito: pode ser que no grupo, muitas mulheres tenham 38 anos, e outras tantas sejam menininhas de dois!

É importante, então, conhecer outra medida, a de que diferença (dispersão) existe entre a média e os valores do conjunto.

Voltando ao exemplo das notas de João, podemos calcular o desvio, que é a diferença de cada nota em relação à média:

Notas	Média	Desvio
9	5,2	3,8
7	5,2	1,8
5	5,2	- 0,2
3	5,2	- 2,2
2	5,2	- 3,2

Outro dado importante em estatística é obtido pela soma dos desvios ao quadrado. Cada desvio é elevado ao quadrado e, em seguida, somados:

Valores	Média	Desvio	Quadrado dos desvios
9	5,2	3,8	14,44
7	5,2	1,8	3,24
5	5,2	- 0,2	0,04
3	5,2	- 2,2	4,84
2	5,2	- 3,2	10,24
Soma dos quadrados dos desvios			32,8

A soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de ocorrências é chamada de variância.

Logo:


Outro valor que pode ser obtido a partir da média e da variância é o desvio padrão. Como os desvios foram elevados ao quadrado, deve-se tirar a raiz quadrada da variância e achar o desvio padrão:


Só para se ter uma idéia melhor do que significa o desvio padrão veja o seguinte exemplo:

Notas: (9, 9, 9, 1, 1, 1)

A média será:


E o desvio padrão será Dp = 4 (tente calculá-lo por conta própria).

Note que, apesar de esse aluno ter tido média 5, seu desempenho foi muito irregular (variou de 4 pontos! 5+4 =9 e 5-4 = 1), o que não é tão bom assim.

No exemplo anterior pode-se interpretar que as notas, no geral, variaram entre (5,2 + 2,56) = 7,76 e (5,2 - 2,56) = 2,64 , ou seja, Joãozinho teve desempenho mais regular que esse outro aluno.
Nota: As fórmulas utilizadas pressupõem os dados como população, sendo portanto:

No caso de amostras, seria:

EXEMPLO DE PROBABILIDADE, COM BINÔMIO DE NEWTON.

Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1 possibilidade em 6, ou seja, ¹/₆ é a probabilidade de obtermos o número 4 em cada lançamento.
Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso no lançamento, pois este é o resultado que pretendemos obter, no entanto quando obtemos um outro resultado qualquer, estamos diante de um fracasso. Note que só há duas possibilidades: Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quando dá qualquer outro.
Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outro lançamento, eles são independentes.
Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a mesma em cada lançamento.
Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton:

Lê-se como número binomial de numerador n e denominador k, ou então como número binomial n sobre k.
Na equação acima P representa a probabilidade procurada. n o total de tentativas, k o número de tentativas que resultam em sucesso, p a probabilidade de obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de obtermos um fracasso.
Note que n - k representa o número de tentativas que resultam em fracasso, assim como q é igual a 1 - p, ou seja, sendo p a probabilidade de sucesso, q é a probabilidade de fracasso que a complementa, pois só podemos obter um sucesso ou um fracasso, não há uma outra possibilidade.
Sendo n ≥ k, o número binomial é dado por:

Para vermos a utilização da fórmula, vamos resolver o problema do início deste tópico.

Veja...

Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

O espaço amostral do lançamento de um dado é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 


Como estamos interessados apenas nos resultados iguais a 4, representamos tal evento por:
E = { 4 }

Em relação ao número de elementos temos que n(E) = 1 e n(S) = 6, portanto a probabilidade da ocorrência de um 4 em um lançamento é:

p é a probabilidade de sucesso em um lançamento, a probabilidade de fracasso é dada por q = 1 - p, portanto q = ⁵/₆.

n é o número total lançamentos, então n = 7.
k é o número de sucessos, logo k = 4.

Antes de utilizarmos a fórmula , vamos calcular o número binomial :

Agora sim temos todos os dados para podermos aplicar a fórmula. Vejamos:


A probabilidade ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆ também pode ser representada na sua forma decimal, bastando realizarmos a divisão de 4375 por 279936, que resulta em aproximadamente 0,0156 e também na forma de porcentagem, bastando multiplicarmos 0,0156 por 100% que dá 1,56%.
Portanto:

A probabilidade é ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆, ou aproximadamente 0,0156, ou ainda 1,56%.

PROBABILIDADE ...EXERCÍCIO SIMPLES.

De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

Vamos representar por E₃ o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 3:
E₃ = { 3, 6, 9, 12, 15 }

E por E₄ vamos representar o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 4:
E₄ = { 4, 8, 12 }

O espaço amostral é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é:

A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é:




   


Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais eventos não são mutuamente exclusivos. Como podemos ver, o número 12 está contido tanto em E₃ quanto em E₄, ou seja:


A probabilidade da intersecção é:

Portanto:

ENTÃO, A probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é ⁷/₁₅.