ARRANJO OU COMBINAÇÃO?

Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
• Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• Um entre os tamanhos: pequeno e grande;
• De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
 
Este é um problema de Combinação, pois podemos ver que cada elemento é de natureza diferente, então, cada organização feita deste sanduíche resultará em um tipo de sanduíche.
Aqui temos três Combinações diferentes, uma referente ao tipo de pão, outra ao tamanho e outra ao recheio. Quando fazemos a combinação do recheio devemos nos atentar, pois existem 5 modos diferentes do cliente rechear seu sanduíche.

Caso 1 – Um item no recheio.



B)
Neste caso o cliente tem algumas preferências, logo restringirá algumas de nossas opções para combinação.




Ele escolherá apenas dois recheios, com isso teremos a seguinte combinação:
 



     
Este cliente terá 20 opções de sanduíche à sua escolha.

PROBABILIDADE...

1) Numa festa há 21 loiras, 18 morenas e 11 ruivas. Ao selecionarmos uma garota, ao acaso, qual a probabilidade dela ser:

 a) Morena                                                                  b) Ruiva.

Solução. Determinando o número de elementos do espaço amostral, temos: 21 + 18 + 11 = 50 pessoas.

a) Se há 18 morenas, a probabilidade de uma delas ser selecionada será: Temos 18/50  = 9/25

b) Se há 11 ruivas, a probabilidade de uma delas ser selecionada será: Temos 11/50

ARRANJOS OU COMBINAÇÕES? Definições...

Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:

An,p = n(n – 1)(n – 2) * ...*(n – p + 1) ou

Exemplos:
A8,4 (onde n = 8 e p = 4)



Combinações Simples

Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.
Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a p

e calcula-se por C n,p =

(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)

Exemplos:
C6,2 (onde n = 6 e p = 2)

ARRANJOS OU COMBINAÇÕES?

VEJAM ESTES EXERCÍCIOS...

1 - O setor de nutrição de determinada cantina sugere, para uma refeição rica em carboidratos, 4 tipos de macarrão, 3 tipos de molho e 5 tipos de queijo. O total de opções para quem vai servir um tipo de macarrão, um tipo de molho e três tipos de queijo é

a) 2.5!     b) 5!     c) (5!)²    d) 5! / 2     e) 2 / 5!

Resolução:

C₁⁴  .  C₁³  .  C₃⁵

= 4  .  3  .  5.4.3

                    3!

= 12 . 60

           3!

= 12. 60

         3.2.1

= 12 . 10

= 120

= 5!

Gabarito Letra: B

2 -   Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

Resolução:

 

O total de comissões formadas por cinco pessoas será:

C₅⁹   

= 9.8.7.6.5

   5.4.3.2.1

9.7.2

= 126

Porém, devemos ter no mínimo um menino e uma menina em cada comissão, dessa forma não podemos ter uma comissão só de meninas e nem uma comissão só de meninos. Como temos apenas 4 meninas, não há a possibilidade de formar uma comissão com 5 pessoas só de meninas, já com 5 garotos, há uma única combinação que forma a comissão só de garotos, portanto, devemos descontar essa combinação do total:

126 - 1 = 125

Resposta: 125 comissões podem ser formadas

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA.

 PGs infinitas.

Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.

Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.

Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.

Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.

Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente: .

Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.

Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:

  

Exercícios resolvidos

 Comprei um terreno e vou pagá-lo em 8 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação é de 100 unidades monetárias - e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. Qual o valor do terreno?

Como sabemos o total de prestações (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestações estão em PG de razão 2.
<>


Logo, o valor do terreno é de 25500 unidades monetárias.

2) Dê a fração geratriz da dízima periódica 0, 8888...

Podemos escrever a dízima da seguinte forma:

0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual à soma da PG infinita
<>

.
A fração geratriz é, então, o valor da soma dessa PG.
<>


3) Resolver a equação .

Mais uma vez, aplicaremos a fórmula da soma da PG infinita, pois o 1º membro da equação é  uma PG infinita e decrescente.

temos:

<>

FUNÇÕES...

Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine: a) O Domínio:b) A imagem c) f(5) d) f(12) Resolução: a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, esta é barbada D={5, 12, 23}. b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há relacionamento com o Domínio, então: Im={7, 14, 25} c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5. f(5)=7 d) Como no exercício anterior: f(12)=14.

FUNÇÕES...

 Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:

Resolução:

Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào:
- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,
então f(-3)=19
- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9
- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1
- f()=2.()²+1, então f()=11

Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}

EXERCÍCIO SOBRE CONJUNTOS...

 Se a e b são números pertencentes a e , a quais conjuntos numéricos fundamentais podemos afirmar com certeza que x pertence, quaisquer que sejam os valores de a e b? 

A partir do enunciado, podemos chamar de A o conjunto ao qual x pertence e representá-lo por
Sabemos que, dentre outras formas, podemos representar o conjunto dos números racionais por
Como podemos observar, A é um subconjunto de , isto é,
Sabemos também que
Assim sendo:

Podemos afirmar com certeza que e .

EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA...P/REVISÃO!

 Exercícios resolvidos de combinações simples

  1. Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo.

Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática (m_i): 

Mas aqui consideramos distintos os agrupamentos do tipo (m₃,m₇,m₆,m₉) e (m₇,m₃,m₆,m₉)

A quantidade de agrupamentos formados por esses professores, mudando-se apenas a ordem, é dada por P₄ = 4!=24.

Logo, o número de combinações simples será o quociente 3024:24=126.

2. Ainda usando o exemplo anterior. Dos 9 professores de matemática dentre os quais 4 irão a um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.

3. Resolver a equação C_{x, 2} = 3.

Logo V = {3}

4. Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?

Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem não faz diferença, temos:

escolhas do levantador.

escolhas dos 5 atacantes.

Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.

5. Durante o jogo, 2 atacantes e o levantador foram substituídos. De quantas formas isso poderia ser feito?

Dos jogadores que não estavam na quadra, 1 era levantador e 5 eram atacantes. Assim, só há uma forma de substituir o levantador e C_{5, 2} formas de substituir os dois atacantes. Logo, as substituições poderiam ter sido feitas de:

formas diferentes.

6. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?

comissões.

7. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?

modos.

8. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

  saladas

9. De quantas maneiras podemos escolher 2 estudantes numa classe com 30 alunos?

A questão é a mesma que perguntar quantos subconjuntos de dois elementos possui um conjunto com 30 elementos. A resposta é:

10. Num grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher

4 membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota dentre os escolhidos?

Se dentre os 4 membros escolhidos há uma garota, essa escolha pode ser feita de C_{7, 2} . C_{2, 1} maneiras distintas. Se dentre os 4 membros escolhidos há duas garotas, essa escolha pode ser feita de C_{7, 2} . C_{2, 2} maneiras distintas. Portanto, o número pedido é

Ou seja. C_{7, 2} . C_{2, 1} + C_{7, 2} . C_{2, 2} = 91

11. De quantas maneiras podemos dividir 10 rapazes em dois grupos de cinco?

O primeiro grupo pode ser escolhido de C_{10, 5} modos. Escolhido o primeiro grupo, sobram 5 pessoas e só há uma maneira de formar o segundo grupo. A resposta parece ser C_{10, 5} . 1

Entretanto, contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo, a divisão dos rapazes nos dois grupos {a, b, c, d, e} e {f, g, h, i, j} é idêntica a divisão nos grupos: {f, g, h, i, j} e {a, b, c,d, e}, e foi contada como se fossem distintas. Portanto, a resposta é:

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Permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples, exercícios com desenvolvimentos, além de dicas de softwares para auxiliar no desenvolvimento dos seus exercícios.

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Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

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NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA...

Imaginem que, no bimestre, João fez cinco atividades que valiam nota nas aulas de matemática. Ele começou bem, mas terminou o bimestre mal. Tirou as seguintes notas: 9, 7, 5, 3, 2.

Qual será a sua média no fim do bimestre?

Para facilitar os cálculos, vamos adotar o seguinte padrão: S é a soma das notas, e n é o número de notas que ele teve.

A média (M) será:



Note que a sua média não é igual a nenhuma das notas que ele tirou. É um número que mostra, mais ou menos, como João foi no bimestre.

Medidas de dispersão

Muitas vezes, a média não é suficiente para avaliar um conjunto de dados. Por exemplo, quando se fala em um grupo de mulheres com idade média de 18 anos. Esse dado, sozinho, não significa muito: pode ser que no grupo, muitas mulheres tenham 38 anos, e outras tantas sejam menininhas de dois!

É importante, então, conhecer outra medida, a de que diferença (dispersão) existe entre a média e os valores do conjunto.

Voltando ao exemplo das notas de João, podemos calcular o desvio, que é a diferença de cada nota em relação à média:

Notas	Média	Desvio
9	5,2	3,8
7	5,2	1,8
5	5,2	- 0,2
3	5,2	- 2,2
2	5,2	- 3,2

Outro dado importante em estatística é obtido pela soma dos desvios ao quadrado. Cada desvio é elevado ao quadrado e, em seguida, somados:

Valores	Média	Desvio	Quadrado dos desvios
9	5,2	3,8	14,44
7	5,2	1,8	3,24
5	5,2	- 0,2	0,04
3	5,2	- 2,2	4,84
2	5,2	- 3,2	10,24
Soma dos quadrados dos desvios			32,8

A soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de ocorrências é chamada de variância.

Logo:


Outro valor que pode ser obtido a partir da média e da variância é o desvio padrão. Como os desvios foram elevados ao quadrado, deve-se tirar a raiz quadrada da variância e achar o desvio padrão:


Só para se ter uma idéia melhor do que significa o desvio padrão veja o seguinte exemplo:

Notas: (9, 9, 9, 1, 1, 1)

A média será:


E o desvio padrão será Dp = 4 (tente calculá-lo por conta própria).

Note que, apesar de esse aluno ter tido média 5, seu desempenho foi muito irregular (variou de 4 pontos! 5+4 =9 e 5-4 = 1), o que não é tão bom assim.

No exemplo anterior pode-se interpretar que as notas, no geral, variaram entre (5,2 + 2,56) = 7,76 e (5,2 - 2,56) = 2,64 , ou seja, Joãozinho teve desempenho mais regular que esse outro aluno.
Nota: As fórmulas utilizadas pressupõem os dados como população, sendo portanto:

No caso de amostras, seria:

EXEMPLO DE PROBABILIDADE, COM BINÔMIO DE NEWTON.

Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1 possibilidade em 6, ou seja, ¹/₆ é a probabilidade de obtermos o número 4 em cada lançamento.
Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso no lançamento, pois este é o resultado que pretendemos obter, no entanto quando obtemos um outro resultado qualquer, estamos diante de um fracasso. Note que só há duas possibilidades: Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quando dá qualquer outro.
Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outro lançamento, eles são independentes.
Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a mesma em cada lançamento.
Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton:

Lê-se como número binomial de numerador n e denominador k, ou então como número binomial n sobre k.
Na equação acima P representa a probabilidade procurada. n o total de tentativas, k o número de tentativas que resultam em sucesso, p a probabilidade de obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de obtermos um fracasso.
Note que n - k representa o número de tentativas que resultam em fracasso, assim como q é igual a 1 - p, ou seja, sendo p a probabilidade de sucesso, q é a probabilidade de fracasso que a complementa, pois só podemos obter um sucesso ou um fracasso, não há uma outra possibilidade.
Sendo n ≥ k, o número binomial é dado por:

Para vermos a utilização da fórmula, vamos resolver o problema do início deste tópico.

Veja...

Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

O espaço amostral do lançamento de um dado é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 


Como estamos interessados apenas nos resultados iguais a 4, representamos tal evento por:
E = { 4 }

Em relação ao número de elementos temos que n(E) = 1 e n(S) = 6, portanto a probabilidade da ocorrência de um 4 em um lançamento é:

p é a probabilidade de sucesso em um lançamento, a probabilidade de fracasso é dada por q = 1 - p, portanto q = ⁵/₆.

n é o número total lançamentos, então n = 7.
k é o número de sucessos, logo k = 4.

Antes de utilizarmos a fórmula , vamos calcular o número binomial :

Agora sim temos todos os dados para podermos aplicar a fórmula. Vejamos:


A probabilidade ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆ também pode ser representada na sua forma decimal, bastando realizarmos a divisão de 4375 por 279936, que resulta em aproximadamente 0,0156 e também na forma de porcentagem, bastando multiplicarmos 0,0156 por 100% que dá 1,56%.
Portanto:

A probabilidade é ⁴³⁷⁵/₂₇₉₉₃₆, ou aproximadamente 0,0156, ou ainda 1,56%.