PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM LOGARÍTIMOS...

( UFBA ) Considere a P.A. de razão "r" , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a₂₂ = k, determine

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Lembrando que a razão de uma P.A. pode ser determinada pela subtração do segundo pelo primeiro termo, temos:

Aplicando a propriedade de logaritmos:

Pela fórmula do termo geral de uma P.A., temos:

Novamente propriedades de logaritmo:

O exercício pede então, substituindo, temos:

Aplicando as propriedades de logaritmo no expoente:

Agora podemos cortar a base 10 (outra propriedade de logaritmos):

Efetuando a divisão das potências de 3:

Esta é a resposta para este exercício.

CÁLCULO DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS...VEJA!

O ponto (x, 2x) é equidistante dos pontos (3,0) e (-7,0) para:

    (A) x = - 2
    (B) x = - 5/2
    (C) x = ± 2
    (D) x = 0
    (E) x = 7

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Para calcular a distância entre dois pontos, usamos a seguinte fórmula:

Portanto, a distância do ponto A = (x, 2x) até o ponto B = (3,0) é dado pela equação

E a distância do ponto A = (x, 2x) até o ponto C = (-7, 0) é dado pela equação:

Como as duas distâncias são iguais, podemos igualar estas equações, e resolvê-la:




Portanto, a resposta certa é a letra “A”

ÂNGULO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA...UM EXERCÍCIO.

Dado um pentágono ABCDE inscrito numa circunferência de centro O, calcule o valor do ângulo a + b, sabendo que o ângulo CÔB é igual a 50º.

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Começamos lembrando de uma propriedade de circunferências: sempre que temos um ângulo central (no caso BÔC), podemos transportar o ponto O para sobre a circunferência (para cima do ponto A, por exemplo) mantendo B e C no mesmo lugar. Assim, obteremos um ângulo BÂC que vale metade de BÔC. Ou seja:


Agora devemos nos ater ao quadrilátero CDEA:

Esse quadrilátero está inscrito na circunferência, portando, respeita a propriedade de quadriláteros inscritos: ângulos opostos são suplementares (somam 180°). Ou seja, podemos então dizer:

Sendo que CDE é o ângulo b:

Agora que sabemos o valor dos ângulos BAC e CAE, podemos calcular o valor de "a", que é a soma destes dois ângulos:

A soma pedida é a+b, sabemos o valor de "a", vamos calcular a soma pedida:

PERMUTAÇÃO CIRCULAR, COMO RESOLVER?

1) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentres essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?
Sabendo que pai e mãe devem ficar juntos, vamos amarrar os dois e tratá-los como se fossem um único elemento. Veja a figura 1 abaixo:

Ao tratar o pai e mãe como um único elemento, passamos a ter somente 5 elementos. Portanto, utilizando a permutação circular de 5 elementos, calculamos o número de possibilidades desta família sentar-se ao redor da mesa com pai e mãe juntos sendo que o pai está à esquerda da mãe.
Permutação circular (P_c) de 5 elementos calcula-se:
P_c5 = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24
Portanto, para o pai a esquerda da mãe, temos 24 posições diferentes. Mas o pai pode estar a direita da mãe, como na figura 2, e então teremos mais 24 posições diferentes para contar (novamente P_c5).
Portanto, o número total de disposições é 48.

2) Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos?
No total temos 5 elementos para dispor em círculo, ou seja, novamente utilizaremos Permutação Circular. Mas agora a restrição é diferente, os dois meninos NÃO podem ficar juntos. Para esta situação, iremos calcular o número total de disposições (sem restrição) e diminuir deste resultado o número de disposições em que os meninos estão juntos (para calcular o número de disposições deles juntos, fazemos como no exercício 1).
O número total de disposições é P_c5 = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24.
Agora, para calcular o número de disposições com os meninos juntos, devemos amarrá-los e tratá-los como um único elemento, lembrando que podemos ter duas situações:

O número total de disposições com os meninos juntos é 2.P_c4  (4 elementos pois os meninos estão juntos e valem por 1). Calculando este valor:
2.P_c4 = 2.(4-1)! = 2.3! = 2.3.2.1 = 12
Portanto, o número de disposições em que os meninos não estão juntos é 24-12=12.

Escola do interior do Pará.

                                           

VI Semana da Matemática da UFF.

Museu Interativo de Educação Matemática

EXPOSIÇÃO INTERATIVA DE

JOGOS E MATERIAIS DIDÁTICOS

(Com recursos didáticos para deficientes visuais)

Para Alunos e Professores do Ensino Fundamental e do Médio

Realização: Laboratório de Ensino de Geometria

09 a 11 de Maio de 2012 - 10:00 às 21:00 H

Local: Instituto de Matemática e Estatística da UFF - 2° andar

Campus do Valonguinho - Em frente ao Plaza Shopping – Niterói

12 de Maio de 2012 - 9:30 às 14:00 H

Local: UFASA - 1° andar

Campus do Gragoatá – Niterói

Informações: 2629-2011. Terças e Quintas: 14:00 às 20:00H

Solicita-se às escolas reservarem horário para visitação.

http://www.uff.br/semanadamatematica/

VI Semana da Matemática da UFF