DEMONSTRAÇÃO DA RESPOSTA PARA A EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU.

Demonstração de Bhaskara

Matemático do século XII descobriu resposta para equação

Prof. Marcilio, professor da rede Estadual do RJ.

Uma equação de segundo grau tem a sua resolução ligada ao nome de um matemático do século 12. Essa resolução genérica, apresentada pelo matemático hindu Bhaskara Akaria, depende de uma série de caminhos matemáticos. Vejamos:

A equação a ser resolvida possui o seguinte formato genérico:


A conhecida fórmula de Bhaskara é:


O caminho para se sair de (I) e se chegar a (II) é:


1. Multiplica-se ambos os membros por 4a:


2. Passar 4ac para o segundo membro:


3. Somar b² em ambos os membros:


Note que o primeiro membro se tornou um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado:


4. Efetuando-se a raiz quadrada em ambos os termos:


5. Passando-se o "b" para o segundo membro:


6. Dividindo-se ambos os membros por 2a:


7. Simplificando:


C.Q.D. - Como se queria demonstrar (em latim, Q.E.D. Quod erat demonstrandum).

Nota: talvez a grande ideia de Bhaskara tenha sido obter um trinômio quadrado perfeito para poder fatorar e isolar a incógnita "x".

O TEOREMA DE TALES.

Como resolver exercícios e problemas envolvendo o Teorema de Tales.

O Teorema de Tales  é muito útil para calcular a medida de determinado segmento. Para entender o teorema é importante saber o que é um feixe de retas paralelas e  uma transversal. Para  isso  veja   a imagem abaixo.

As retas pretas são chamadas de “feixe de retas paralelas“, pois são um conjunto de retas paralelas entre si.

As retas vermelhas e azuis recebem o nome de “transversal“, pois ela intersecta todas as retas do feixe.

O Teorema de Tales diz o seguinte: quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados pelas transversais são proporcionais. Para entender o teorema é importante que o leitor saiba um pouco sobre razão e proporção.

No entanto, como o exemplo é a melhor forma de explicar algo vamos usar a imagem acima e o teorema para descobrir o valor de x.

Aplicando o teorema de Tales temos o seguinte problema:

2 : x    =   5 : 4       LOGO X = 8 : 5 

8º ANO , ENSINO FUNDAMENTAL - C.E.E.R.F. - 2015.

COLÉGIO ESTADUAL EMBAIXADOR RAUL FERNANDES - 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

 

COLÉGIO ESTADUAL EMBAIXADOR RAUL FERNANDES - TURMA 3ª SÉRIE.

DEMONSTRAÇÃO DA RELAÇÃO DE GIRARD PARA FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Relações de Girard

Soma e produto de raízes de uma equação

Prof. Marcilio Dias (matemática Estado do RJ)

Você sabia que a partir das "raízes" (resultados) das equações de segundo grau é possível "montar" a equação? Se você tiver apenas as raízes (x₁ e x₂), você consegue encontrar qual equação poderia ter esses resultados, graças às relações que as raízes guardam com os coeficientes da equação de 2º grau.

Soma das raízes

A primeira relação importante de se destacar é esta:




Em que x₁ e x₂ são as duas raízes da equação, b e a são os coeficientes dela, segundo a fórmula de Bhaskara:

Veja sua comprovação. Comece relembrando a fórmula de Bhaskara:




Logo as raízes são:




e




Para simplificar daqui para diante vamos adotar a seguinte notação:




Logo:




Veja as raízes somadas:




Como denominador é o mesmo fica:

Produto das raízes

Veja como essa relação se comprova:




Lembra-se dos produtos notáveis?

A multiplicação de uma soma por uma diferença resulta no quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo, então:




Como




então




Simplificando o 4 e o a:

Essas relações foram definidas pelo matemático Albert Girard (1590-1639).

Recuperando uma equação a partir das raízes

Dadas uma equação de segundo grau de raízes 4 e 9, qual seria uma equação possível? Relembre que a fórmula geral de uma equação de segundo grau é ax² + bx + c = 0.

De:




com




e




Logo, tem-se a equação:

ARRANJO OU COMBINAÇÃO?

Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
• Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• Um entre os tamanhos: pequeno e grande;
• De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
 
Este é um problema de Combinação, pois podemos ver que cada elemento é de natureza diferente, então, cada organização feita deste sanduíche resultará em um tipo de sanduíche.
Aqui temos três Combinações diferentes, uma referente ao tipo de pão, outra ao tamanho e outra ao recheio. Quando fazemos a combinação do recheio devemos nos atentar, pois existem 5 modos diferentes do cliente rechear seu sanduíche.

Caso 1 – Um item no recheio.



B)
Neste caso o cliente tem algumas preferências, logo restringirá algumas de nossas opções para combinação.




Ele escolherá apenas dois recheios, com isso teremos a seguinte combinação:
 



     
Este cliente terá 20 opções de sanduíche à sua escolha.